数字

有符号数和无符号数

无符号数

无符号数只有数据位，数据范围与寄存器位数有关。

如八位寄存器，存储范围是$(00000000)_2到(11111111)_2$，也就是$(0)_{10}到(255)_{10}$。

有符号数

有符号数包含符号位和数据位。

机器数与真值

原码表示法

定义

• 整数：

$$
[x]_原 =
\begin{cases}
0,x & 2^n > x \geq 0\\
2^n-x & 0 \ge x > -2^n
\end{cases}
$$

x为真值，n为整数的位数

• 小数

$$
[x]_原 =
\begin{cases}
x & 1 > x \ge 0 \\
1-x & 0 \ge x > -1
\end{cases}
$$

x为真值

原码的特点

优点：简单，直观

缺点：计算机中一般只有加法器，但是如果原码相加，有可能是加法，也有可能是减法。如下表：

为了解决这一缺点，我们可以寻找一个和这个负数等价的正数，进行加法操作。就此引出补码。

补码表示法

整数

一个负数加上“模”就是负数的补数。

一个正数和一个负数互为补数时，他们绝对值之和就是“模”。

例如模16的情况下,要将1011变为0000,可以减去1011,也可以加上0101.记作$-1011 \equiv +0101$

定义

正数的补数即为其本身

$-1011 \equiv +0101$

他俩的补数均为+0101，因此为了区分正负性，需要添加符号位。

+0101的补码就是0,0101。-1011的补码就是1,0101。

负数的补数=$2^{n+1}+负数$

eg: -1011的补码 = $2^{4+1}+(-1011)=1,0101$

总结为
$$
[x]_补 = \begin{cases}
0,x & 2^n > x \geq 0\\
2^{n+1}+x & 0 > x >= -2^n(mod 2^{n+1})
\end{cases}
$$

小数

定义

$$
[x]_补 = \begin{cases}
x & 1 > x \geq 0\\
2+x & 0 > x >= -1(mod 2)
\end{cases}
$$

其实就是整数的那个式子，n=0

快捷求法

当真值为负时，补码可以用原码除符号位的每一位取反再加一（反码加一）求得。

反码表示法

快捷求法

正数的反码是其本身。

负数的反码是除符号位的每一位取反（补码减一）。

移码表示法

用补码表示很难反映出真值大小。可以用移码表示法。

定义

$$
[x]_移=2^n+x(x)
$$

x为真值，n为整数的位数。

可以看出，补码和移码只差一个符号位。（1变0，0变1）

数的定点表示和浮点表示

定点表示

小数点按约定方式标出。

浮点表示

$$
N=S*r^{j} \\ 浮点数的一般形式（科学计数法）
$$

N：要表示的小数，S：尾数，j：阶码，r：尾数的基值

计算机中r取2,4,8,16等数值

计算机中S小数，可正可负

计算机中j整数，可正可负

最小负数：$-2^{(2^m-1)}*(1-2^{-n})$

最大负数：$-2^{-(2^m-1)}*2^-n$

最小正数：$2^{-(2^m-1)}*2^-n$

最大正数：$2^{(2^m-1)}*(1-2^{-n})$